Systemtheorie II Formelsammlung

Formel  Einheit Größe  Bemerkungen

Wahrscheinlichkeitstheorie

F (x) = P (X ≤ x)

- Verteilfunktion der Zufallsvariable X

P (X > c) = 1 − F (c)

p(x) = \frac{dF (x)}{dx} ≥ 0 - Wahrscheinlichkeitsdichte der ZV X

es gilt stets: ∫_{−∞}^{∞} p(x)dx = 1

F (x) = P (X ≤ x) = ∫_{−∞}^{x} p(z)dz - Wahrscheinlichkeit, daß X ≤ x ist

{Y = H(X) → G(y) = P (Y ≤ \atop y) = P (H(X) ≤ y)}

ȳ = ∫_{−∞}^{∞} p(x)·H(x)dx = ∫_{−∞}^{∞} y·g(y)dy -

Mittelwert am Ausgang auch erstes Moment genannt

f_{A} = \frac{n_{A}}{n} -

relative Häufigkeit  n  Versuche,  Ereignis

A tritt n_{A} mal auf; f_{A} = 0 A ist nie aufgetreten f_{A} = 1 A ist stets aufgetreten f_{a} ∈ [0, 1]

P (A|B) = lim_{n→∞} \frac{n_{A∩B}}{\frac{n_{B}}{n}} = \frac{P (A∩B)}{P (B)} - Bedingte Wahrscheinlichkeit v Versuche, n_{B} mal Eintreten von B, n_{A∩B} mal treten A und B ein

P (A|B) = P (A)

- unabhängige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeit für das

Ereignis A hängt nicht davon ab, ob B auch auftritt → A und B sind stochastisch unabhängig

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

- Multiplikation für Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen

g(y) = ∑_{ν=1}^{n} \frac{p(x_{ν}(y))}{|H́(x_{ν}(y))|} - direkte Berechnung von

g(y) ohne G(y)

E[X] = ∫_{−∞}^{∞} x · p(x)dx = ∑_{i} x_{i}P (x_{i})

- Erwartungswert (Mittelwert)

auch 1. Moment

E[Y] = ∫_{−∞}^{∞} H(x)p(x)dx - Erwartungswert am Ausgang eines nichtlinearen Vierpols direkt

V ar(X) = E[X^{2}] = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}p(x)dx  -  Varianz

Korrelation

R_{xy}(τ) = lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} x(t)y(t + τ)dt - Kreuzkorrelierte von x(t) und y(t)

R_{xy} = 0 falls x oder y unkorreliert und mittelwertfrei

R_{xx}(τ) = lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} x(t)x(t + τ)dt - gilt x(t) = y(t) → Auto-

korrelationsfunktion

R_{xx}(0) ≥ |R_{xx}(τ)| -

x(t + νT_{0}) ≡ x(t + τ + νT_{0})

- Sind identisch wegen Periodizität von x(t)

R_{xx}(0) = x_{eff}^{2} = \overline{n}(t) = \overline{x}^{2} = E[x^{2}] - Mittlere Signalleistung von x(t)

zweites Moment

R_{yx}(−τ) = R_{xy}(τ)

- → die Autokorrelierte ist gerade in τ

{R_{xx}(0) = lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−∞}^{∞} x^{2}(t)dt = \atop x_{eff}^{2} = E[X^{2}]} -  Effektivwert  für τ = 0

R_{xy}(τ) = \overline{x} · \overline{y} - Falls das gilt, nennt man die beiden Prozesse x(t) und y(t) unkorreliert Unabhängige Prozesse sind stets unkorreliert

R_{zz}(τ) = R_{xx}(τ) + R_{yy}(τ)

- wobei x(t) und y(t) unkorreliert

z(t) = x(t) + y(t)

S_{xx}(ω) = ∫_{−∞}^{∞} R_{xx}(τ)e^{−iωτ} dτ - Theorem von Wiener-Chintchin S_{xx} ist Signalleistungsdichtespektrum R_{xx}(τ) ◯−• S_{xx}(ω) ≥ 0 Fouriertransformierte der Autokorrelierten

S_{xx}(ω) = ∫_{−∞}^{∞} R_{xx}(τ)cos(ωτ)dτ − ; j ∫_{−∞}^{∞} R_{xx}(τ)sin(ωτ)dτ = ; 2 ∫_{0}^{∞}R_{xx}(τ)cos(ωτ)dτ - R_{xx}(ω) → reell, gerade in

τ Imaginäres Integral=0, da schiefsymmetrisch

R_{xx}(τ) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞}S_{xx}(ω)cos(ωτ)dω  -

R_{xx}(τ) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} S_{xx}(ω)e^{−iωτ} dω - Theorem von Wiener-Chintchin

{R_{xx}(0) = x_{eff}^{2} = \overline{n}(t) = \atop \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} S_{xx}(ω)dω = ∫_{−∞}^{∞} S_{xx}(2πf)df} - Effektivwert \overline{n}(t): mittlere Rauschleistung

{R_{yy}(τ) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} h(u)h(ν)R_{xx}(τ + \atop u − ν)dudν} - Autokorrelierte im Zeitbe-

reich

S_{yy}(ω) = |H(ω)|^{2}S_{xx}(ω)

- Autokorrelierte im Frequenzbereich H(ω): Übertragungsfunktion für Leistungsdichte

{R_{yy}(τ) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} h(u)h(v)R_{xx}(τ + \atop u − v)dudv} - Autokorrelierte am Aus-

gang bei unbekannten Zeitfunktionen

{z(τ) = \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} y(t) · x(t − τ)dt = \atop R_{yx}^{∗}(−τ) = R_{xy}^{∗}(τ) ≈ R_{xy}(τ)} - Kurzzeitkorrelierte

{y_{eff}^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} S_{yy}(ω)dω = \atop \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞}S_{yy}(ω)dω = R_{yy}(0)} - Mittlere Signalleistung am

Ausgang

\frac{Y_{eff}^{2}}{x_{eff}^{2}} = \frac{R_{yy}(0)}{R_{xx}(0)} - Leistungsübertragung des Systems

|Y (ω)|^{2} = |H(ω)|^{2}˙|X(ω)|^{2} -

Signalübertragung |X(ω)|^{2}: Energiedichte

W_{c} = \frac{1}{2}kT = \frac{1}{2}C_{y_{eff}^{2}} - Rauschleistung im einzigen Energiespeicher

S_{0} = 2RkT - Leistungsdichte des thermischen Rauschens Nur der Realteil des komplexen Eingangswiderstands rauscht!!

{Y_{eff}^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} |H(ω)|^{2}S_{0}dω = \atop \frac{1}{2π} ∫_{−2πΔf}^{2πΔf} S_{0}dω = 2S_{0}Δf} - Schmalbandrauschleistung

Optimalfilter und Kammfilter

t_{0} ≥ T - muß für kausales System gelten T: rechte Grenze von x(t); für schnellstmöglichste Signalentdeckung: t_{0} = T N_{y} = y^{2}(t_{0} = t_{max})

- Signalleistung N_{y} von y(t) bei t = t_{max}

ρ^{∗} = \frac{N_{y}}{N_{r}} = \frac{y^{2}(t_{M} =t_{0})}{N_{r}} - S/N-Verhältnis möglichst groß Signalentdeckung für ρ^{∗} > n · 1 mit n ∈ Z^{+}

ρ^{∗} = \frac{E}{S_{0}} = \frac{y(t_{M} =t_{0})}{k} - H(ω) so wählbar, daß ρ maximal! i. a. Variationsrechnung mit Schwarzscher Ungleichung

y(t_{M} = t_{0}) = k · E - maximaler Wert des Ausgangssignals

E: Energie des Eingangssignals

E = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}(t)dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} |X(ω)|^{2}dω - Normierung auf Nutzsignalenergie am Ausgang

E: Energie des Eingangssignals

h(t) = k · x(−(t − t_{0}))

- Impulsantwort des Optimalfilters x(t) an der y-Achse spiegeln und danach um t_{0} nach rechts schieben

H(ω) = k · \underbrace{\overline{X}(ω)}_{X(−ω)} e^{−iωt_{0}} - Übertragungsfunktion eines Optimalfilters bei weißem Rauschen bei farbigem Rauschen: H(ω) = k · \frac{\overline{X}(ω)}{S_{rr}(ω)}e^{−iωt_{0}}

X(ω) = X_{0}(ω) · \frac{sin(m \frac{ωT_{0}}{2} )}{sin \frac{ωT_{0}}{2}} - Spektrum X(ω) für gege-

benes Kammfilter

mit x(t) = ∑_{ν=−k}^{k} x_{0}(t − νT_{0}) mit

m = 2k +1 (Anzahl der Impulse)

X(ω) = X_{0}(ω) · \frac{sin(m \frac{ωT_{0}}{2} )}{sin \frac{ωT_{0}}{2}} · e^{−jωT^{∗}} - T^{∗}= Betrag der Strecke,

um die man verschieben muß

x(t) = ∑_{ν=0}^{k} x_{0}(t − νT_{0}) mit m =

k + 1 (Anzahl der Impulse)

x(t) = ∑_{ν=−k}^{k} x_{0}(t − νT_{0})

- Kammfilter Optimalfilter für gepulstes Eingangssignal

maxR_{xx}^{,}(t_{0} − t) = R_{xx}^{,}(0)

- Optimalfilter realisiert für gegebenes Eingangssignal x(t) die Kurzzeitkorrelierte bei t = t_{0}

\frac{| ∫_{−∞}^{∞} H(ω)Z(ω)dω|^{2}}{∫_{−∞}^{∞} |H(ω)|^{2}dω· ∫_{−∞}^{∞} |Z(ω)|^{2}dω} ≤ 1 - Maximum bei =1 wird er-

reicht für H(ω) = k · \overline{Z(ω)}

k: beliebige Konstante

weißes Rauschen

{R_{xx}(0) = x_{eff}^{2} = \overline{n}(t) = ∫_{−∞}^{∞} S_{0}df = \atop \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} S_{0}dω} - weißes Rauschen hat ∞

hohe Signalleistung; bei [ω_{1}, ω_{2}] ∈ S_{0} → Signalleistung endlich; S_{xx}(ω) = S_{0} Autokorrelierte: R_{xx}(τ) = S_{0}δ(t) Falls \overline{X}^{2} ≠ 0 : R_{xx}(τ) = \overline{x}^{2} alle Frequenzen sind gleichstark vertreten

{R_{yy}(τ) = S_{0} ∫_{−∞}^{∞} h(u)h(v)δ(τ + u − \atop v)dudv = S_{0} ∫_{−∞}^{∞} h(u)h(u + τ)du} - weißes Rauschen

R_{yy}(0) = S_{0}\underbrace{∫_{−∞}^{∞} h^{2}(u)du}_{∗} - *: Signalenergie der Impulsantwort

Parseval: ∫_{−∞}^{∞} f^{2}(t)dt  =

\frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} |F (ω)|^{2}dω

lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} x^{2}(t)dt - mittlere Signalleistung

binäres Rauschen R_{xx}(τ) = α^{2}(1 − \frac{|τ|}{T_{0}}) für |τ| ≤ T_{0} sonst 0

- binäres Rauschen {R_{xx}(τ) = lim_{n→∞} \frac{1}{2π} ∫_{−nT_{0}}^{nT_{0}} x(t)x(t + \atop τ)dt}

S_{xx}(ω) = α^{2}T_{0}si^{2}(\frac{ωT_{0}}{2} )

- Leistungsdichte des binären Rauschens reell, gerade, ≥ 0; In begrentem Intervall |ω| ≤ ω_{0} kann weißes durch binäres Rauschen angenähert werden, falls T_{0} klein genug

pseudobinäres Rauschen

{S_{xx}(ω) = \atop ω_{T} ∑_{−∞}^{∞} α^{2}T_{0}si^{2}(νω_{T} \frac{T_{0}}{2} )δ(ω − νω_{T})} - pseudobinäres Rauschen ω_{T} = \frac{2π}{T}

thermisches Rauschen

S_{yy}(ω) = |H(ω)|^{2}S_{rr}(ω)

- thermisches Rauschen mit S_{rr}(ω) = S_{0} und

\overline{r(t)} = 0; Bestimmung von

H(ω)bzw.|H(ω)|^{2} → einsetzen

S_{yy}(ω) = 2kT Re{Z(ω)} - allgemeines thermisches Rauschleistungsdichtespektrum nach Nyquist

Z(ω): Eingangswiderstand

Schrotrauschen

Q(t) = ex(t)

- Ladung, die in [0, t] über die Potentialschwelle geht

i(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = e · y(t)

- Strom, der über die Potentialschwelle geht

I = \overline{i}(t) = e · \overline{y}(t) = eη -

Mittelwert des Stromes

{R_{ii}(τ) = e^{2}R_{yy}(τ) = e^{2}[η^{2} + \atop ηδ(τ)] = I^{2} + eIδ(τ)} - Autokorrelierte des

Poisson-Impulses

S_{ii}(ω) = 2πI^{2}δ(ω + eI -

Leistungsdichtespektrum Gleichanteil + Schrotrauschen

N_{r} = 2ΔfeI - Schmalbandrauschleistung des Schrotrauschens

Rauschen am Vierpol

S_{uu}(ω) = 2kT R -

Rausch-Spannungsquelle

S_{ii}(ω) = \frac{1}{R^{2}} S_{uu}(ω) = 2kT G -

Rausch-Stromquelle

r_{eff}^{2} = 4RkT Δf -

Rauschspannungsquelle

N_{1s} = \frac{r_{eff}^{2}}{4R_{0}} = kT Δf - Am Eingang verfügbare Schmalbandrauschleistung

P_{2} = \frac{U_{a}^{2}}{4R_{2}(ω)} - verfügbare Leistung am Ausgang

G = \frac{U_{a}^{2}}{U_{0}^{2}} · \frac{R_{1}(ω)}{R_{2}(ω)} = \frac{P_{2}}{P_{1}} - Gain (Gewinn)

G = \frac{P_{3}}{P_{1}} = \frac{P_{3}}{P_{2}} · \frac{P_{2}}{P_{1}} = G_{2} · G_{1} - Gewinn der Kettenschaltung

F = \frac{N_{2s}}{N_{12s}} = 1 + \frac{N_{is}}{N12s} ≥ 1 - Rauschzahl nichtrauschender Vierpol: F = 1, N_{is} = 0

F = \frac{N_{2s}}{N_{1s}G} · \frac{P_{1}}{P_{1}} = \frac{\frac{P_{1}}{N_{1s}}}{\frac{P_{2}}{N_{2s}}} = \frac{SNR_{IN}}{SNR_{OUT}}  -  Rauschzahl

Faustregel für Kettenschaltung von Vierpolen Erster VP mit geringster Rauschzahl F_{1}, da die (F_{ν} − 1)für ν ≥ 1 mit den Gewinnen der vorhergehenden VP dividiert werden. VP nach aufsteigender Rauschzahl anordnen (bei G_{ν} ≥ 1)